Quy Hoạch Động (Dynamic Programming) Bài toán đồng xu (Coin Change Problem)

Bài toán đồng xu (Coin Change Problem) là một trong những bài toán tối ưu hóa kinh điển trong lập trình, đặc biệt là trong lĩnh vực lập trình động. Mục tiêu của bài toán là tìm cách đổi một số tiền cho trước bằng cách sử dụng số lượng đồng xu ít nhất, dựa trên các mệnh giá đồng xu có sẵn. Thông qua bài toán này, chúng ta không chỉ học được cách giải quyết bài toán tối ưu hóa mà còn hiểu sâu hơn về cách ứng dụng các thuật toán trong thực tế.

Bài toán đồng xu (Coin Change Problem)

Bài toán đồng xu (Coin Change Problem) là một bài toán tối ưu hóa thuộc dạng Dynamic Programming. Mục tiêu của bài toán là tìm cách tối ưu nhất để đổi một số tiền cho trước thành các mệnh giá xu khác nhau, sao cho số lượng đồng xu sử dụng là ít nhất.

1. Mô tả bài toán

Giả sử bạn có một số lượng không giới hạn các đồng xu với mệnh giá khác nhau. Nhiệm vụ của bạn là tìm cách đổi một số tiền cụ thể bằng các đồng xu sao cho số lượng đồng xu sử dụng là ít nhất.

Ví dụ:

• Các đồng xu có mệnh giá: 1, 2, 5.
• Số tiền cần đổi: 11.
• Kết quả mong muốn: Sử dụng 3 đồng xu (1 đồng xu 5 và 2 đồng xu 2).

2. Hướng dẫn giải quyết bài toán đồng xu bằng PHP

2.1. Tư duy giải quyết bài toán

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng Dynamic Programming nhằm tối ưu hóa quá trình tìm cách đổi tiền. Tư duy cơ bản là với mỗi số tiền S, ta sẽ tính toán cách đổi tiền từ các số tiền nhỏ hơn dựa trên các mệnh giá xu có sẵn.

2.2. Giải thuật

• Xây dựng một mảng dp mà tại mỗi vị trí dp[i] sẽ lưu trữ số lượng đồng xu ít nhất để đổi được số tiền i.
• Khởi tạo dp[0] = 0 vì không cần đồng xu nào để đổi số tiền 0.
• Với mỗi số tiền từ 1 đến S, duyệt qua tất cả các mệnh giá xu và cập nhật giá trị tối ưu.

2.3. Mã nguồn PHP

Dưới đây là đoạn mã PHP để giải quyết bài toán đổi tiền:

$coins

Giải pháp tối ưu ở đây là sử dụng 3 đồng xu: 1 đồng xu 5 và 2 đồng xu 2.

4. Tối ưu hóa thêm

Nếu muốn tối ưu hơn cho các trường hợp lớn hơn, bạn có thể:

• Tối ưu thời gian chạy bằng cách sử dụng các thuật toán tối ưu khác như Greedy (tham lam) trong một số trường hợp cụ thể khi các mệnh giá đồng xu phù hợp.
• Kết hợp thuật toán Greedy với Dynamic Programming để giải quyết các bài toán phức tạp hơn.

5. Kết luận

Bài toán đồng xu (Coin Change Problem) là một ví dụ điển hình về cách sử dụng lập trình động để giải quyết các bài toán tối ưu hóa. Việc tính toán số lượng đồng xu ít nhất để đổi một số tiền giúp ta hiểu sâu hơn về các chiến thuật tối ưu hóa chi phí trong nhiều lĩnh vực như tài chính, vận tải, và hệ thống phân phối. Bằng cách áp dụng giải thuật Dynamic Programming, chúng ta có thể tìm ra giải pháp hiệu quả với độ phức tạp thời gian tối ưu.

6. Mở rộng

Bài toán này có thể mở rộng với các biến thể khác như:

• Bài toán đổi tiền với số lượng xu giới hạn: Trong trường hợp này, mỗi loại xu có giới hạn số lượng, và bài toán trở nên phức tạp hơn.
• Bài toán đổi tiền với điều kiện đặc biệt: Có thể thêm các điều kiện về số lượng tối thiểu hoặc tối đa của một loại xu được sử dụng.

Bài toán đồng xu (Coin Change Problem) là một ví dụ điển hình trong lập trình động, giúp chúng ta giải quyết các bài toán tối ưu hóa phức tạp. Bằng cách áp dụng giải thuật này vào thực tế, bạn có thể tối ưu hóa chi phí, thời gian, và nguồn lực trong nhiều lĩnh vực khác nhau. Việc nắm vững tư duy và cách triển khai bằng PHP sẽ mang lại cho bạn nhiều lợi ích trong việc xây dựng các giải pháp hiệu quả và chính xác cho các bài toán tối ưu hóa.

• Dynamic Programming
• PHP